Чудесное домино. Статья №62. 31.10.17


В процессе обучения изобретательству нередко используются полушутливые задачи-головоломки, помогающие развитию навыков творческого мышления. То есть, такого мышления, которое характеризуется нетривиальным результатом решения задачи.

В задаче «Мост из домино» в распоряжении группы, решающей задачу, имеется десять костяшек домино. Последовательно укладывая костяшки друг на друга, необходимо добиться максимального смещения (свеса) самой верхней костяшки относительно самой нижней. При этом, нужно не только получить максимальный свес, при десяти живых костяшках, но и определить, каков будет свес при произвольно большом их количестве.

Разумеется, склеивать или скреплять между собой костяшки каким-то другим образом не разрешается.

Как правило, на первых минутах решения задачи начинается хаотичный перебор первых пришедших в голову вариантов. Метод “проб и ошибок” проявляется во всей своей красе с предсказуемым результатом. Кажущаяся простота задачи невольно подталкивает к поиску столь же простого решения. После пяти минут бессистемной суеты с игровыми камнями, пришедшими к нам из Китая, будущие изобретатели обычно выдают два варианта решения. Одни (пессимисты) утверждают, что максимально возможный свес равен половине длины доминошного камня. Другие же (оптимисты) считают, что при большом количестве камней, можно добиться свеса, почти что равного полной длине камня. Однако, аргументированного доказательства при этом не приводится.

Ну, а как же подойти к решению этой задачи методологически, в соответствии с правилами эффективного мышления ?

Одним из признанных в Европе авторитетов в области методологии мышления безусловно считается Рене Декарт. Следуя его “правилам для руководства ума”, надлежит максимально упростить рассматриваемую задачу, сведя её к тому минимуму, в котором всё же сохраняется суть задачи. Фактически речь идёт о переходе от самой задачи к её модели. В некоторых случаях переход к модели задачи может сделать её решение почти очевидным.

В нашем случае модель доминошной задачи состоит всего из двух камней. Нам следует ответить на вопрос – каков максимальный свес верхнего камня относительно нижнего.

Согласитесь, что решение столь простой задачи вполне очевидно: верхний камень удерживается на нижнем до тех пор, пока его центр тяжести (ЦТ) не вышел за границу нижнего камня, отсюда, максимальный свес составляет половину длины камня.

Конечно, в реальности необходимо обеспечить хотя бы микронный запас, гарантирующий устойчивость верхнего камня (рис. 1).


Но это ещё не решение задачи. Мы, пока что, сделали только первый шаг на пути к её решению, и смело можем приступать ко второму шагу, в ходе которого, опять же следуя рекомендациям Декарта, можно несколько усложнить модель задачи, добавив в неё третий камень.

Вот с этого момента наша задача становится похожей на изобретательскую, поскольку в ней можно углядеть техническое противоречие.

Если вы помните, в методике изобретательства Альтшуллера противоречие является не столько препятствием на пути к решению задачи, сколько инструментом, позволяющим преодолеть это самое препятствие.

Так, в чём же у нас – противоречие ?

Попытка установить третий камень поверх второго, хотя бы с небольшим смещением, приводит к выходу суммарного ЦТ второго и третьего камней за пределы первого (самого нижнего) камня, и как следствие, к обрушению всей нашей пирамиды (рис. 2).


Итак, третий камень необходимо установить со смещением относительно первых двух (для увеличения общего свеса), и третий камень нельзя устанавливать со смещением, из-за неизбежного опрокидывания всей конструкции. Эти противоречивые требования не разделимы во времени, а вот в пространстве…

Положить третий камень поверх второго нельзя из-за опрокидывания, а как ещё можно расположить третий камень ?

Тут нам на помощь может прийти один из сорока типовых приёмов Альтшуллера – принцип “наоборот” – перевернуть объект вверх ногами.

Например, вместо укладывания третьего камня сверху первых двух, взять и установить два уже сложенных камня на третий !

При этом общий ЦТ первых двух камней не должен выходить за границы третьего камня.

Из рис. 3 вполне очевидно, что к первоначальному свесу в полкамня добавился дополнительный свес в четверть камня. И всё это – благодаря разрешению противоречия в пространстве. Укладка камня сверху приводит к явному противоречию, а укладка снизу лишена, казалось бы, непреодолимого противоречия.


Можно сказать, что мы нашли ключ к решению задачи. Теперь, добавляя следующий камень, мы уже не будем пытаться пристроить его сверху, а мудро пристроим его снизу, то есть, установим ранее сложенные камни на новый (дополнительный) камень.

Так и хочется выдать решение для неограниченного количества доминошных камней. При двух камнях смещение равно 1/2 длины камня, при трёх камнях общее смещение равно 1/2 + 1/4 = 3/4, при четырёх камнях смещение равно 1/2+1/4+1/8=7/8… И так далее.

В эту логическую ловушку попадают многие слушатели школы изобретателей. В результате, они проходят мимо по-настоящему сильного и нетривиального решения.

Дело в том, что сумма прогрессии 1/2+1/4+1/8+1/16… имеет своим пределом единицу. Это значит, что максимальный свес доминошной полуарки не может превысить длину одной костяшки, даже при бесконечном количестве костяшек. И стоило ради этого столько мучиться.

Но, кто сказал, что прогрессия прироста смещений именно такова ? Да, никто. Всему виной наша торопливость. Вместо того, чтобы определить положение общего ЦТ трёх камней, мы решили предугадать прогрессию дополнительных смещений, нарушив тем самым одно из правил Декарта: пошаговое усложнение модели задачи.

Придётся нам исправить допущенную ошибку (рис. 4).


Для определения координат ЦТ каждого из трёх первых камней можно выбрать любую точку отсчёта, например, правый край самого верхнего камня. Тогда ЦТ камня № 2 смещён на 1/2, ЦТ камня № 1 – на 1, ЦТ камня № 3 – на 5/4. Для определения смещения общего ЦТ всех трёх камней нам следует просуммировать все три смещения и сумму поделить на три: (1/2+1+5/4)/3 = 11/12.

Именно это значение 11/12 (от длины камня) и есть то максимальное смещение, которое можно получить, располагая четырьмя костяшками домино.


Получается такая картина: два камня позволяют получить смещение 1/2, три камня - 3/4, четыре камня - 11/12. Отсюда следует простое уравнение: 1/2 + 1/4 + 1/6 = 11/12. Это значит, что прогрессия нарастания смещения верхнего камня относительно нижнего не 1/2 + 1/4 + 1/8 + …+ 1/(2^n), а 1/2 + 1/4 + 1/6 + …+ 1/(2n). А это совсем другое дело !

Сумма такого арифметического ряда при десяти членах ряда равна 1,43. Это почти в полтора раза больше, чем было у наших оптимистов.

Используя весь набор домино из 28 камней, чисто теоретически, можно получить смещение, равное 1,96. При наборе в тысячу камней смещение равно 3,74, а при миллионе камней – 7,196. Не правда ли, впечатляет !

Но самое удивительное – при неограниченном числе камней смещение ничем не ограничено, поскольку ряд 1/2n – расходящийся.

Вот оно – нетривиальное решение нашей задачи: максимальный свес верхнего камня домино относительно нижнего, при неограниченном количестве камней, равен бесконечности.

Ну, разве это не чудо ?



Поможем с оформлением патента -
защитим ваше изобретение.

Телефон: +7 (495) 737-63-77 доб. 6800
Нина Николаевна Андреева.



Автор:  Игорь Юрьевич Куликов, видео - Николай Геннадьевич Соков, звуковая дорожка - Cattails - Thatched Villagers by Kevin MacLeod is licensed under a Creative Commons Attribution license.

Возврат к списку