Невозможные логарифмы. Статья №74. 10.08.18.


Считается, и не без основания, что логарифмов отрицательных чисел не существует. Но, что же такое – логарифм, и почему его не может быть у отрицательных чисел ?

Логарифм – это одна из двух противоположностей математической операции возведения в степень. Первая противоположность – извлечение корня, вторая противоположность – отыскание логарифма.

Стало быть, для начала неплохо бы понять, что такое возведение в степень.

Представьте себе, что в селе пять улиц, на каждой улице – пять домов, в каждом доме – пять комнат, и в каждой комнате – пять окон. Вопрос в том, сколько же всего окон в этом селе ?

Для получения ответа на этот непростой вопрос нам необходимо возвести число пять в четвёртую степень. Первая степень – это само число. Вторая степень – это число, умноженное само на себя, то есть, число в квадрате: А2 = А х А. Третья степень – это число в кубе или три одинаковых числа, перемноженные друг на друга: А3 = А х А х А. Четвёртая степень – это четыре одинаковых числа, перемноженных друг на друга: А4 = А х А х А х А.

В нашем примере с окнами В = 5 х 5 х 5 х 5 = 54 = 625. В селе 625 окон.

Возведение в степень – это, так называемая, прямая математическая операция. Соответственно, если есть прямая математическая операция, то должна существовать обратная ей операция.

В нашем примере прямая операция – это умножение произвольного числа (А) само на себя энное количество раз: А N = В.

Наиболее очевидная обратная операция – это поиск числа А при известных В и N. Называется такая операция – извлечением корня энной степени, или возведением числа в степень, обратную N: А = В1/N.

Если верно, что пять в четвёртой степени равно: 54 = 625. То также верно, что 6251/4 = 5.

Как видим, можно вполне успешно возводить число в дробную степень (1/N), в том числе и в сколь угодно малую степень.

При дальнейшем приближении степени к нулю, результат возведения в степень будет приближаться к единице.

Но, возведение в обратную степень (извлечение корня) – это не единственное обратное математическое действие по отношению к прямому действию «возведение в степень».

Вторым обратным действием является вычисление той степени, возведение в которую, дало известный нам результат. Например: 5Х = 625, вопрос – чему равно Х. Правильный ответ: Х = 4.

Отыскание неизвестной степени при известном результате возведения в степень и известном числе (основании), которое возводилось в степень, называется взятием логарифма.

В нашем примере логарифмом числа 625 по основанию 5, является число 4. [ Log5 (625) = 4 ].

Как видим, в математической операции логарифмирования нет ничего сверхъестественного. Это, всего лишь, одна из двух обратных операций, по отношению к операции возведение в степень.

Основные свойства логарифмов вытекают из свойств математической операции возведение в степень.

Так, например, логарифм единицы (по любому основанию) равен нулю: Log (1) = 0.

Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел: Log (А х В) = Log (А) + Log (В).

Логарифм дроби двух чисел равен разнице логарифмов этих чисел: Log (А/В) = Log (А) – Log (В).

Эти замечательные свойства логарифмов в средние века позволяли астрономам и шкиперам океанских кораблей заменять сложные математические операции умножения и деления гораздо более простыми математическими операциями сложения и вычитания, при условии, что у них под рукой имелась чудесная книжица с таблицами логарифмов или чудесная логарифмическая линейка, переводящая любое число в логарифм и любой логарифм обратно в число.

Мы начали разговор с того, что логарифмов отрицательных чисел не существует. Но, ведь, логарифм – это, всего лишь, степень, в которую следует возвести основание, чтобы в результате получилось то или иное число.

Например, если возвести минус пять в третью степень, то в результате мы получим число: минус сто двадцать пять: ( –5)3 = –125. Стало быть, логарифмом числа –125 по основанию –5 можно считать тройку: Log–5 (–125) = 3.

Получается, что у некоторых отрицательных чисел всё же может быть найден логарифм по отрицательному основанию. Прямо, как в старой песне: «Если кто-то кое-где у нас порой…».

Но это – отдельные исключения, а хотелось бы понять, что такое логарифм отрицательного числа в общем случае.

Опираясь на основные свойства логарифма, попробуем определить, чему должен быть равен логарифм отрицательного числа по положительному основанию.

Любое отрицательное число можно представить, как произведение положительного числа на минус единицу: –А = –1 х А.

Следовательно, Log [ (–1) х A) ] = Log (–1) + Log (A).

Дело – за малым, осталось научиться вычислять логарифм минус единицы.

Здесь мы снова воспользуемся свойствами логарифмов: поскольку (–1) х (–1) = +1, то:

Log [ (–1) х (–1) ] = Log (+1)

Log [ (–1) х (–1) ] = Log (–1) + Log (–1) = 2 Log (–1)

2 Log (–1) = Log (+1)

Log (–1) = 0,5 х Log (+1) .

Но, поскольку логарифм плюс единицы по любому основанию равен нулю, то:

Log (–1) = 0,5 х 0 = 0.

Тогда: Log [ (–1) х A) ] = Log (–1) + Log (A) = 0 + Log (A)

Log (–А) = Log (A)

Другими словами, логарифм отрицательного числа по любому положительному основанию равен логарифму положительного числа с таким же абсолютным значением.

Впрочем, логарифм отрицательного числа по положительному основанию – это всего лишь забавная математическая иллюзия, порождённая правилами логарифмов, применённых не совсем строго, поскольку правила справедливы только для логарифмов положительных чисел.




Нестандартный подход к решению задачи
приведёт вас к изобретению.

Оформим патент на ваше изобретение.
Обращайтесь к патентному поверенному РФ рег. №358
Надежде Станиславовне Ковальчук:

Телефон: +7 (495) 737-63-77 доб. 4020



Автор:  Игорь Юрьевич Куликов

Возврат к списку