Зеркальная отмычка Ньютона. Часть 2. Статья №76. 29.08.18.


Продолжение. Часть 2.

В пояснениях (поучениях) к своим трём законам Ньютон детально анализирует конкретный пример упругого соударения двух шаров ⓐ и ⓑ.


Законы механики Ньютона

Масса шара ⓐ втрое меньше массы шара ⓑ (mА = m; mВ = 3 m), а скорость шара ⓐ в пять раз больше шара ⓑ (VВ = 2V; VА = 10V).

Шары движутся по одной прямой и в одном направлении, при этом шар ⓐ догоняет шар ⓑ. Необходимо определить скорости шаров поле их соударения (V’А и V’В).

Количество движения шара ⓐ равно: РА = VА mА = 10mV. Количество движения шара ⓑ равно: РВ = VВ mВ = 6mV. Суммарное количество движения двух шаров равно: РΣ = 10mV + 6mV = 16 mV.

В наше время количество движения тела (mV) часто называют импульсом движущегося тела, или просто импульсом тела.

Что же можно сказать о примере Ньютона, опираясь на три его закона?

Во-первых, скорости и импульсы шаров после соударения изменятся. Шар ⓐ приобретёт скорость V’А , а шар ⓑ приобретёт скорость V’В.

Во-вторых, на основании первого закона можно утверждать, что после соударения общее количество движения (импульса) двух шаров останется прежним, поскольку первый закон справедлив как для одиночных тел, так и для группы тел:

mVА + 3mVВ = mV’А + 3mV’В , сократив (m) слева и справа, получим: VА +3 VВ = V’А + 3V’В

В-третьих, на основании третьего закона, изменение импульса шара ⓐ должно быть равно (и противоположно по знаку) изменению импульса шара ⓑ:

∆РА= –∆РВ= m(VА – V’А) = –3m(VВ – V’В), после сокращения (m) имеем: VА – V’А = 3V’В – 3VВ

Нетрудно заметить, что оба уравнения идентичны. Стало быть, на основании первого и третьего законов Ньютона получается одно и то же уравнение. Однако, для решения задачи, этого мало, поскольку у нас задача с двумя неизвестными (Р’А и Р’В). Это, как замок с двумя ключами. Одним ключом здесь никак не обойтись.

Что же в такой ситуации предпринимает сэр Ньютон ?

Вы не поверите, но Ньютон начинает гадать.

Положим, говорит Ньютон, при соударении шар ⓑ приобретёт количество движения, равное 3mV, 4mV или 5mV. Тогда шар ⓑ продолжит перемещение, имея количество движения: 9mV, 10 mV или 11 mV. При этом шар ⓐ утратит столько же количества движения и продолжит своё перемещение, имея: 7mV, 6 mV или 5 mV, так что сумма во всех случаях будет равна 16 mV, как до соударения.

На этом предположении – очень далёком от истины, Ньютон не останавливается и продолжает своё гадание.

Если бы, говорит Ньютон, шар ⓑ приобрёл в ходе столкновения 9mV, 10 mV, 11 mV, или 12 mV, то он бы стал двигаться дальше, имея количество движения: 15mV, 16 mV, 17 mV или 18 mV. При этом шар ⓐ, потеряв столько же количества движения, сколько приобрёл шар ⓑ, продолжил бы движение в прежнем направлении с количеством движения 1 mV, либо остановился (0 mV), либо двинулся назад с –1mV или –2mV.

Итак, у нас образовалось уже целых семь вариантов, предложенных Ньютоном в качестве возможных решений задачи. Так какое же из них – правильное ?

Ньютон, без каких–либо пояснений и обоснований, неожиданно делает свой выбор в пользу самого последнего из рассмотренных им вариантов, в котором шар ⓐ, ударившись в шар ⓑ, отскакивает от него с импульсом –2mV. Соответственно, шар ⓑ приобретает импульс 18 mV.

Разделив импульс (количество движения) каждого из шаров на его массу, Ньютон рассчитывает скорость шаров после соударения: V’А = –2mV/m = –2V; V’В = 18 mV/3m = 6V;

Спонтанный выбор Ньютона, при решении рассмотренной им задачи, абсолютно ничем не подкреплён, но он верен.

Чтобы убедиться в его верности, рассчитаем кинетическую энергию двух шаров до удара и после.

До удара: WА= m•(10V)2/2 = 50 mV2; WВ =3m•(2V)2/2 = 6 mV2; WΣ = 56 mV2

После удара: WА= m•(–2V)2/2 = 2 mV2; WВ = 3m•(6V)2/2 = 54 mV2; W’Σ = 56 mV2

Суммарная кинетическая энергия шаров до столкновения и после оказались равны, следовательно, данный вариант решения задачи является верным. Все остальные варианты перераспределения импульса, предложенные Ньютоном, входят в противоречие с законом сохранения кинетической энергии, стало быть. Они не верны.

Уравнение баланса кинетической энергии – это второй недостающий ключик, позволяющий без проблем решать задачи соударения шаров. Но, среди законов механики Ньютона, закон сохранения кинетической энергии (живой силы – по Ньютону) не фигурирует. Так, каким же образом Ньютон мог определить правильное решение ?..

Продолжение следует...


Автор:  Игорь Юрьевич Куликов

Возврат к списку