Удар по Ньютону. Статья №78. 17.09.18.



В предыдущей статье «Зеркальная отмычка Ньютона» мы рассмотрели законы Ньютона в их авторской редакции, несколько отличающейся от версии школьных и вузовских учебников.

Особый интерес для нас представляла “методика решения задачи” соударения двух шаров разной массы, представленная самим Ньютоном.

Напомним, что Ньютон в своём бессмертном труде «Математические начала натуральной философии» не привёл обоснованного решения задачи соударения, дав лишь (без доказательств) правильный ответ.

В задаче Ньютона шары имеют не только разную массу, но и разную начальную скорость, что затрудняет точное повторение ньютоновского опыта на практике.

Однако, проблемы с решением задачи соударения по Ньютону сохраняются и в более простом случае, когда один из шаров перед соударением неподвижен.

Вот мы и решили воспроизвести такого рода опыт соударения тел в натуре и ещё раз убедиться в бессилии формального применения трёх законов Ньютона при решении задачи упругого удара.

Законы Ньютона, по сути, признаются фундаментом теории удара, но почему-то, их явно не хватает для решения самых простых задач упругого соударения тел.

Итак, удар по Ньютону.

Одно тело в нашем примере представляет собой кольцо, вырезанное из пластиковой трубы диаметром 100 мм – кольцо ⓐ. Его массу примем за условную единицу: mA= m. Второе тело состоит из трёх колец того же диаметра, коаксиально вложенных друг в друга – кольцо ⓑ. Масса второго кольца составляет три условные единицы: mB= 3m.

Кольцо ⓑ до соударения – неподвижно, а кольцо ⓐ разогнано до какой-то произвольной скорости V. Следовательно, количество движения первого кольца равно mV, а количество движения второго кольца ⓑ равно нулю. Суммарное количество движения двух колец равно mV.

В соответствии с первым законом Ньютона, суммарное количество движения обоих колец до соударения и после должно остаться неизменным, поскольку на материальную систему из двух колец никакие внешние силы не действуют.

Скорость кольца ⓐ с массой m,приобретённую им после соударения, обозначим V’А, а скорость кольца ⓑ с массой 3m обозначим V’Б.

Тогда mV А = m V’А + 3m V’Б , сократив m, получаем V А = V’А + 3 V’Б , (1)

Второй закон Ньютона в данной задаче нам не помощник, поскольку у нас нет данных ни о силе удара, ни о его длительности во времени.

В соответствии с третьим законом Ньютона, изменение количества движения первого кольца должно быть равно (и противоположно по знаку) изменению количества движения второго кольца.

Тогда m(VА – V’А) = –3mV’В, после сокращения (m) имеем: VА – V’А = 3V’В (2)

К большому нашему сожалению, уравнение (1) и уравнение (2) оказались идентичны. Другими словами, из первого и третьего законов Ньютона мы можем извлечь только одно уравнение. Но для решения нашей задачи с двумя неизвестными (V’А и V’Б) требуются два уравнения.

Законов Ньютона оказывается недостаточно для решения задачи соударения двух тел разной массы даже в том случае, когда одно из тел до соударения было неподвижно.

Формально, наша простая задача, как бы и неразрешима.

Выход из затруднительного положения состоит в переходе в особую систему отсчёта, в рамках которой, вместо двух неизвестных у нас остаётся только одно неизвестное. И тогда, для решения задачи, будет вполне достаточно одного уравнения динамики.

Этой спасительной системой отсчёта является система, в которой скорости тел до и после соударения отсчитываются относительно общего центра масс.

Скорость общего центра масс до соударения мы найдём, разделив общее количество движения двух колец на суммарную массу колец: VΣ = (m•V)/(m+3m) = ¼ V.

Далее найдём скорости и импульсы колец до соударения в новой системе координат:

UA = VА – VΣ = V – ¼ V = ¾ V PA = mA• UA = m• ¾ V = ¾ mv

UB = VB – VΣ = 0 – ¼ V = – ¼ V PB = mB• UB = 3m• (– ¼ V) = – ¾ mv

К нашей радости, импульсы двух колец в новой системе отсчёта равны по модулю и противоположны по знаку (направлению). Их сумма, таким образом, равна нулю. Более того, их сумма останется равной нулю и после соударения (I закон).

В ходе столкновения колец они просто обменяются равными импульсами, поменяв только направление своих скоростей в нашей хитрой системе отсчёта.

U’A = – ¾ V

U’B = + ¼ V

Осталось теперь вернуться в исходную систему отсчёта. Для этого пересчитаем новые скорости колец с учётом скорости центра масс (¼ V).

V’А = U’A + VΣ = – ¾ V+ ¼ V = –½ V; V’B = U’B + VΣ = ¼ V+ ¼ V = ½ V;

Как видим, после соударения кольца в нашей задаче расходятся со скоростями, равными по величине и противоположными по знаку (направлению).

Их суммарный импульс стал равен: Р’Σ = mA• U’A + mB•U’B = –½ V• m + ½ •V 3m = mV

Как и следовало ожидать, суммарный импульс двух колец не изменился.

В итоге, в ходе решения задачи на упругое соударение тел, мы успешно преодолели то затруднение, которое не смог преодолеть Ньютон, опираясь только лишь на свои великие законы механики.

Оказывается, помимо законов механики, полезно воспользоваться сменой системы отсчёта, временно перейдя в такую систему, в которой импульсы соударяющихся тел подчиняются закону симметрии.




Думайте и делайте
не "как все".

Оформим патент на ваше изобретение.
Обращайтесь к патентному поверенному РФ рег. №358
Надежде Станиславовне Ковальчук:

Телефон: +7 (495) 737-63-77 доб. 4020



Автор:  Игорь Юрьевич Куликов

Возврат к списку